03/07/2026
ලෝක ගණිත ඉතිහාසයම කණපිට හැරවූ පැය 6ක අභිරහස
1988 IMO තරඟයේ 6 වැනි ගැටලුව
ඔබ කවදා හෝ සිතා තිබෙනවාද ලෝකයේ සිටින දක්ෂතම, බුද්ධිමත්ම විද්යාඥයින්ට සහ ගණිතඥයින්ට පවා විසඳිය නොහැකි වූ ගැටලුවක්, වයස අවුරුදු 16-17 ක පාසල් ළමුන් පිරිසක් විසින් විසඳනු ඇතැයි කියා? එය චිත්රපටයක දර්ශනයක් වැනිය. නමුත් 1988 වසරේදී ඕස්ට්රේලියාවේ කැන්බරා නුවරදී මෙය සැබෑවක් බවට පත් විය.
ගණිතය යනු විශ්වයේ භාෂාවයි. නමුත් සමහර අවස්ථාවලදී එම භාෂාවේ ඇති සරලම වචන, ලෝකයේ සිටින දක්ෂතම පරිවර්තකයන් පවා අන්දමන්ද කිරීමට සමත් වේ. 1988 ජාත්යන්තර ගණිත ඔලිම්පියාඩ් (International Mathematical Olympiad - IMO) තරඟයේ 6 වැනි ගැටලුව හෙවත් "The Legend of Question 6"යනු එවැනි අමරණීය කතාවකි.
1988 වසරේ 29 වැනි ජාත්යන්තර ගණිත ඔලිම්පියාඩ් තරඟයට සත්කාරකත්වය සැපයුවේ ඕස්ට්රේලියාවයි. ලොව පුරා රටවල් 49කින්, තමන්ගේ රටේ සිටින දක්ෂතම තරුණ ගණිත මොළ 268 දෙනෙකු මේ සඳහා සහභාගී වීමට ඕස්ට්රේලියාවට පැමිණ සිටියහ.
තරඟයට පෙර, සහභාගී වන රටවල් විසින් ගැටලු යෝජනා කිරීම සාමාන්ය සිරිතයි. බටහිර ජර්මනිය විසින් මෙවර තරඟය සඳහා ගැටලුවක් යෝජනා කරන ලදී.
මේ අපූරු ගැටලුව ලෝකයට හඳුන්වා දුන් ඒ මොළකරුගේ නම ස්ටෙෆාන් බෙක් (Stephan Beck). ඔහු 1988 තරඟය සඳහා බටහිර ජර්මනිය නියෝජනය කරමින් මෙම ගැටලුව යෝජනා කළේය.
ස්ටෙෆාන් බෙක් මේ ගැටලුව යෝජනා කරන විට, නීතිවලට අනුව ඔහු එයට නිල විසඳුමක් ලබා දී තිබුණි. නමුත් ගණිත ඉතිහාසඥයින් පෙන්වා දෙන ආකාරයට, ඔහුගේ එම මුල් විසඳුම ගොඩනගා තිබුණේ Quadratic Forms වැනි තරමක් උසස්, සංකීර්ණ සහ දීර්ඝ ගණිතමය සිද්ධාන්ත මත පදනම්වය.
බැලූ බැල්මට මෙය ඉතාම සරලය.
10 වැනි ශ්රේණියේ දරුවෙකුට වුවද ගැටලුව කියවා තේරුම් ගැනීමේ හැකියාවක් තිබුණි.
a සහ b යනු ධන නිඛිල (Positive Integers) යැයි සිතන්න. ab + 1 මගින් a² + b² ඉතිරියක් නොමැතිව බෙදෙයි නම්, (a² + b²) / (ab + 1) යනු කිසියම් නිඛිලයක පූර්ණ වර්ගයක් (Perfect Square) බව සාධනය කරන්න.
මෙය කියවන ඔබට ද සිතෙන්නට පුළුවන්, මේක ඒ හැටි අමාරු දෙයක් වෙන්න බැහැ නේද? කියා. ඔව්, ඕස්ට්රේලියානු ප්රශ්න තේරීම් කමිටුවට ද මුලින්ම සිතුණේ එයමය. ඔවුන් මෙය සාමාන්ය ගැටලුවක් ලෙස සලකා විසඳීමට උත්සාහ කළහ.
නමුත් විනාඩි, පැය බවට පත් විය. කඩදාසි පිටු ගණන් සමීකරණ ලියවෙන්නට විය. කමිටුවේ සිටි ප්රවීණ ගණිතඥයින්ට මෙය විසඳා ගැනීමට නොහැකි විය. ඔවුන්ගේ දහඩිය දමන්නට පටන් ගත්තේ ඉන් පසුවයි.
තමන්ට මෙය විසඳීමට නොහැකි වූ තැන, ඕස්ට්රේලියානු කමිටුව තීරණය කළේ මෙම ගැටලුව ඒ වන විට ලෝකයේ සිටි ප්රමුඛ පෙළේ ගණිතඥයින් හතර දෙනෙකුට යොමු කිරීමටයි. (මෙම හතර දෙනා අතර ලෝකයේ ගණිතඥයෙකුට ලබාගත හැකි ඉහළම සම්මානය වන ෆීල්ඩ්ස් පදක්කම (Fields Medal) දිනාගත් අයෙකු ද සිටි බවට ඉතිහාසයේ සඳහන් වේ).
ඔවුන්ට කොන්දේසියක් පනවන ලදී.
"ඔබට මෙය විසඳීමට පැය 6ක කාලයක් තිබෙනවා."
පැය 6ක් යනු ගණිතඥයෙකුට එකම ගැටලුවක් වෙනුවෙන් කාලය මිඩංගු කිරීමට ලබා දෙන සුවිශාල කාලයකි. ලෝකයේ මොළකරුවන් හතර දෙනා සටන ආරම්භ කළහ. ඔවුන් වීජ ගණිතය (Algebra), සංඛ්යා සිද්ධාන්ත (Number Theory) සහ ඔවුන් දන්නා සියලුම උසස් ගණිත සංකල්ප භාවිතා කළහ.
එහෙත් පැය 6 අවසානයේ ප්රතිඵලය කුමක්ද?
සිව්දෙනාම පරාජය භාරගෙන තිබුණි!
කිසිවෙකුටත් මෙම සරල යැයි පෙනෙන ගැටලුවට නිශ්චිත සාධනයක් (Proof) ඉදිරිපත් කිරීමට නොහැකි විය.
කමිටුව දැඩි තීරණයක් ගත්තේය. ලෝකයේ දක්ෂතම ගණිතඥයින්ට පැය 6කින් විසඳන්න බැරි වුණු ප්රශ්නයක්, අපි කොහොමද අවුරුදු 16ක ළමයින්ට දෙන්නේ? මේක තරඟයෙන් අයින් කරමු. කෙසේ වෙතත්, කමිටුවේ සිටි තවත් පිරිසක් දැඩිව කියා සිටියේ, මෙම ගැටලුව කොතරම් අපහසු වුවත් එහි ඇති අලංකාර බව නිසාම එය තරඟයේ අවසාන සහ අමාරුම ගැටලුව, එනම් 6 වැනි ගැටලුව ලෙස ලබා දිය යුතු බවයි.
අවසානයේදී එය තරඟ ප්රශ්න පත්රයේ 6 වැනි ගැටලුව ලෙස මුද්රණය විය.
1988 ජූලි මාසයේ තරඟ දිනය උදා විය. ශාලාව පුරා දැඩි නිහඬතාවයක් රජයයි. ලොව පුරා සිටි දක්ෂතම සිසුහු තම ප්රශ්න පත්රවලට පිළිතුරු සපයමින් සිටියහ.
විශේෂත්වය වන්නේ, මෙම තරඟකරුවන් අතර අද වන විට ලෝකයේ සිටින ශ්රේෂ්ඨතම ජීවමාන ගණිතඥයා ලෙස සැලකෙන ටෙරන්ස් ටාඕ (Terence Tao) ද සිටීමයි. එකල ඔහු 13 හැවිරිදි වියේ පසුවූ අතිදක්ෂ දරුවෙකි. නමුත් පුදුමයකට මෙන්, ටෙරන්ස් ටාඕ ට පවා මෙම 6 වැනි ගැටලුව සම්පූර්ණයෙන් විසඳා ගැනීමට නොහැකි විය. (ඔහු එවර රන් පදක්කමක් දිනා ගත්තද, මෙම ගැටලුව සඳහා ඔහුට ලබාගත හැකි වූයේ ලකුණු 7න් 1ක් පමණි).
නමුත් ලෝකයම මවිත කරමින්, කිසිවෙකු නොසිතූ අරුම පුදුම සිදුවීමක් එදින වාර්තා විය.
ලෝකයේ දැවැන්ත ගණිතඥයින් හතර දෙනෙකුට පැය 6කින් වත් විසඳාගත නොහැකි වූ මෙම ගැටලුවට, පාසල් සිසුන් 11 දෙනෙකු ඉතා නිවැරදිව පිළිතුරු සපයා, උපරිම ලකුණු (7/7) ලබාගෙන තිබුණි!
මෙම සිසුන් 11 දෙනාගේ මොළය ක්රියාත්මක වූ ආකාරය ගණිත ලෝකයටම අලුත් පාඩමක් කියා දුන්නේය. ඔවුන් මේ සඳහා භාවිතා කළේ විශ්ව විද්යාලවල උගන්වන සංකීර්ණ න්යායන් නොවේ. 16 වැනි සියවසේ ජීවත් වූ ප්රංශ ගණිතඥ ෆ්රාන්සුවා වියෙටා (François Viète) ගේ සරල සමීකරණ මූලධර්ම සහ, 17 වැනි සියවසේ පියරේ ද ෆර්මැට් (Pierre de Fermat) ගේ අනන්ත අවරෝහණය (Infinite Descent) නම් තර්කන ක්රමය මුසු කරමින්, එතෙක් ලෝකයේ නොතිබූ නවතම ගණිතමය සංකල්පයක් ඔවුන් එතැනදී නිර්මාණය කළහ.
පසුව ගණිත ලෝකය විසින් මෙම ක්රමය Vieta Jumping ලෙස නිල වශයෙන් නම් කරන ලදී.
ඔවුන් සිතූ ආකාරය සරලව තේරුම් ගනිමු.
ඔබට සාමාන්ය පෙළ ගණිතය මතක නම්, වර්ගජ සමීකරණයක මූලයන් සොයන ආකාරය මතක ඇති.
1. සිසුන් මුලින්ම උපකල්පනය කළේ, (a² + b²) / (ab + 1) = k යැයි කියාය. මෙහි k යනු පූර්ණ වර්ගයක් නොවේ යැයි ඔවුන් සිතුවා
2. ඉන්පසු ඔවුන් මෙය වර්ගජ සමීකරණයක් බවට පත් කළා: a² - (kb)a + (b² - k) = 0.
3. වියෙටාගේ සිද්ධාන්තයට අනුව, වර්ගජ සමීකරණයකට පිළිතුරු (මූලයන්) දෙකක් තිබෙනවා. එක පිළිතුරක් අනිවාර්යයෙන්ම a වෙනවා. එසේනම් අනෙක් පිළිතුර (අපි එය a₁ යැයි ගනිමු) කුමක්දැයි ඔවුන් සෙව්වා.
4. මෙන්න මෙතැනදී තමයි අර පාසල් ළමයින්ගේ අතිවිශිෂ්ට බුද්ධිය ක්රියාත්මක වුණේ. ඔවුන් පෙන්වා දුන්නා අලුතින් හොයාගත්ත a₁ කියන අගය, සැමවිටම මුල් a අගයට වඩා කුඩා ධන නිඛිලයක් බව.
5. මේ ක්රියාවලිය නැවත නැවතත් කළහොත්, අපිට ඊට වඩා කුඩා a₂, a₃, a₄ ලෙස අගයන් දිගටම ලැබෙනවා. නමුත් ධන නිඛිල (Positive integers) එලෙස අනන්තයක් දක්වා කුඩා වෙන්න බැහැ (උදාහරණයක් ලෙස 5, 4, 3, 2, 1 න් පසුව බිංදුවටත් වඩා අඩුවී සෘණ අගයන්ට යනවා. නමුත් ගැටලුවේ කියා ඇත්තේ ධන නිඛිල පමණක් බවයි).
6. මෙයින් අදහස් වෙන්නේ කුමක්ද? ඔවුන් මුලින් උපකල්පනය කළ දේ වැරදියි! එනම්, k යනු අනිවාර්යයෙන්ම පූර්ණ වර්ගයක් (Perfect Square) විය යුතුමයි!
මෙය හරියට චෙස් ක්රීඩාවකදී, ප්රතිවාදියාව පියවරෙන් පියවර කොටු කරමින් ගොස් අවසානයේදී චෙක්මේට් (Checkmate) කරනවා හා සමාන අතිශය සුන්දර තර්කනයකි. මෙම ක්රමය භාවිතා කරමින් බල්ගේරියාවෙන් පැමිණි ඉමානුවෙල් අතනසොව් (Emanouil Atanassov) නම් සිසුවා ඉදිරිපත් කළ පිළිතුර කොතරම් අලංකාර ද යත්, ඔහුට ඒ වෙනුවෙන් විශේෂ සම්මානයක් ද හිමි විය.
ඉතින් ලෝකයම මවිත කළේ බෙක්ගේ එම විසඳුම නොවෙයි. බල්ගේරියාවෙන් පැමිණි ඉමානුවෙල් අතනසොව් (Emanouil Atanassov) ඇතුළු අර පාසල් දරුවන් 11 දෙනා මේ ගැටලුව විසඳන්නට පාවිච්චි කළ නවතම ක්රමයයි.
බෙක්ගේ ක්රමය වූයේ විශ්වවිද්යාල මට්ටමේ උසස් ගණිත සංකල්ප භාවිතා කරමින් පිටු ගණනාවක් පුරා විහිදුණු සාධනයකි.
ළමයින්ගේ ක්රමය (Vieta Jumping) වූයේ ස්ටෙෆාන් බෙක් පිටු ගණනාවකින් ඔප්පු කළ දේ, මේ දරුවන් සරල ඡේදයකින්, පේළි කිහිපයකින් ඔප්පු කර පෙන්වීමයි.ඔවුන් ඒ සඳහා කිසිදු සංකීර්ණ න්යායක් භාවිතා කළේ නැත. ඔවුන් කළේ සාමාන්ය පෙළ සිසුවෙකු පවා දන්නා වර්ගජ සමීකරණ (Quadratic Equations) සහ වියෙටාගේ සිද්ධාන්ත (Vieta's Formulas) ඉතාම නිර්මාණශීලීව එකිනෙක ගැට ගසා අලුත්ම තර්කයක් ගොඩනැගීමයි.
1988 IMO 6 වැනි ගැටලුව හුදෙක් ගණිත ගැටලුවක් පමණක් නොවේ. එය මානව බුද්ධියේ අපූර්වත්වය කියාපාන කැඩපතකි.
1. ප්රවීණ ගණිතඥයින් තමන් දන්නා සියලුම සංකීර්ණ සූත්ර පිටු ගණන් ලියමින් උත්සාහ කරද්දී, පාසල් සිසුන් සරල සූත්ර දෙකක් ගෙන, රාමුවෙන් පිටත සිතමින් (Out-of-the-box thinking) අපූරු විසඳුමක් ගොඩනැගුවා. එයින් ඔප්පු වන්නේ ගැටලුවක් විසඳීමට අවශ්ය වන්නේ දැනුම් ගබඩාවක් පමණක් නොව, එම දැනුම නිර්මාණශීලීව භාවිතා කිරීමේ හැකියාව බවයි.
2. මෙම ගැටලුවට පෙර Vieta Jumping කියා දෙයක් ලෝකයේ තිබුණේ නැහැ. අද වන විට ලෝකයේ ඕනෑම උසස් ගණිත තරඟයකට (Math Olympiads) සූදානම් වන සිසුවෙකු අනිවාර්යයෙන්ම ඉගෙන ගත යුතු ප්රධාන පාඩමක් බවට මෙම Vieta Jumping සංකල්පය පත්ව තිබෙනවා.
3. ඇතැම් විට අත්දැකීම් බහුල පුද්ගලයින්ට සරල දේවල් පෙනෙන්නේ ඉතා සංකීර්ණ ලෙසයි. ඔවුන් සිතුවේ මෙතරම් කුඩා සමීකරණයකට පිටු ගණනාවක සංකීර්ණ උත්තරයක් තිබිය යුතු බවයි. දරුවන්ගේ නිරවුල් මනස එය සරලවම දැක්කා.
ඉතින්, ලෝක ඉතිහාසයේ අමාරුම ඔලිම්පියාඩ් ගැටලුව මෙය යැයි ඔබ අසා තිබූ කතාව සියයට සියයක්ම සත්යයකි. සංඛ්යා ලේඛනවලට අනුව මීට වඩා අඩු සිසුන් පිරිසක් විසඳූ ගැටලු (උදා: 2017 වසරේ 3 වැනි ගැටලුව) මෑත කාලයේදී වාර්තා වී තිබුණද, ලෝක ප්රකට ගණිතඥයින්ට පවා දහඩිය දැම්මවූ, ගණිත ලෝකයට නවතම න්යායක් (Vieta Jumping) එකතු කළ, සහ අදටත් ලෝකයේ ගණිතඥයින් අතර ජනප්රියම පුරාවෘත්තයක් ලෙස කතාබහට ලක්වන්නේ 1988 වසරේ මෙම අපූරු 6 වැනි ගැටලුවයි.
එය අදටත් අපට නිහඬව කියා දෙන එක් දෙයක් ඇත.සමහර විට ලෝකයේ විසඳීමට අපහසුම ගැටලු පිටුපස ඇත්තේ, අපට මඟ හැරුණු ඉතා සරල, සුන්දර තර්කයක් පමණි.
ගණිත විනෝදය follow කරන් යන්න ❤️
මූලාශ්ර (Sources & References)
Official IMO Website: International Mathematical Olympiad, 1988 Results and Problems (imo-official.org).
Engel, Arthur (1998):Problem-Solving Strategies*, Springer. (මෙම ග්රන්ථයේ උසස් ගණිත ගැටලු විසඳීමේ ක්රමවේද සහ 1988 ගැටලුව පිළිබඳව විස්තරාත්මකව සාකච්ඡා කර ඇත).
Numberphile (YouTube): "The Legend of Question Six" - Featuring Prof. Simon Pampena (ගණිත ලෝකයේ ජනප්රියතම වීඩියෝ මාලාවක් වන Numberphile හි මෙම ගැටලුව සහ එහි ඉතිහාසය මනාව පැහැදිලි කර තිබේ).
Terence Tao's Math Blog / Biographies: ටෙරන්ස් ටාඕ 1988 IMO තරඟයට සහභාගී වීම සහ ඔහුගේ ලකුණු සටහන් පිළිබඳ වාර්තා.
Mathematical Reflections / Journals on Vieta Jumping: "Vieta Jumping" නම් සංකල්පයේ උපත සහ එය ගණිත ඔලිම්පියාඩ් සඳහා යොදාගන්නා ආකාරය පිළිබඳ ශාස්ත්රීය ලිපි.
